Integral racionalne funkcije: 1 kroz x na 4 − x na 2

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{1}{x^4-x^2}\space dx}

REŠENJE ZADATKA

Rastaviti imenilac na proste činioce.

\int{\frac{1}{x^4-x^2}\space dx}=\int{\frac{1}{x^2(x^2-1)}\space dx}=\int{\frac{1}{x^2(x-1)(x+1)}\space dx}

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{1}{x^2(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+1}

Pomnožiti imeniocem $x^2(x-1)(x+1)$ obe strane jednačine.

1=Ax(x-1)(x+1)+B(x-1)(x+1)+Cx^2(x+1)+Dx^2(x-1)

Osloboditi se zagrada.

1=Ax^3-Ax+Bx^2-B+Cx^3+Cx^2+Dx^3-Dx^2

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

A+C+D=0

B+C-D=0

-A=0

-B=1

Rešenje sistema je:

A=0,\space B=-1, \space C=\frac{1}{2}, \space D=-\frac{1}{2}

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{\frac{1}{x^2(x-1)(x+1)}\space dx}=\int{\frac{A}{x}\space dx}+\int{\frac{B}{x^2}\space dx}+\int{\frac{C}{(x-1)}\space dx}+\int{\frac{D}{(x+1)}\space dx}

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

\int{\frac{0}{x}\space dx}+\int{\frac{-1}{x^2}\space dx}+\int{\frac{\frac{1}{2}}{(x-1)}\space dx}+\int{\frac{-\frac{1}{2}}{(x+1)}\space dx}

Primeniti formule za tablične integrale:

-\frac{x^{-1}}{-1}+\frac{1}{2}\ln{|x-1|}-\frac{1}{2}\ln{|x+1|}+C=\ln{|\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}|}+\frac{1}{x}+C

$\int{\frac{1}{x^4-x^2}\space dx}$