Integral: (x − 8) kroz x na 3 − 4x na 2 + 4x

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{x-8}{x^3-4x^2+4x}\space dx}

REŠENJE ZADATKA

Rastaviti imenilac na proste činioce.

\int{\frac{x-8}{x^3-4x^2+4x}\space dx}=\int{\frac{x-8}{x(x^2-4x+4)}\space dx}=\int{\frac{x-8}{x(x-2)^2}\space dx}

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{x-8}{x(x-2)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}

Pomnožiti imeniocem $x(x-2)^2$ obe strane jednačine.

x-8=Ax^2-4Ax+4A+Bx^2-2Bx+Cx

Grupisati sve članove izraza tako da se izdvoje oni uz $x^2,$ zatim oni uz $x$ i na kraju slobodni članovi.

A+B=0

-4A-2B+C=1

4A=-8

Rešenje sistema je:

A=-2, \quad B=2, \quad C=-3

Vratiti se na rešavanje integrala i uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

\int{\frac{A}{x}\space dx}+\int{\frac{B}{x-2}\space dx}+\int{\frac{C}{(x-2)^2}\space dx}=\int{\frac{-2}{x}\space dx}+\int{\frac{2}{x-2}\space dx}+\int{\frac{3}{(x-2)^2}\space dx}

Primeniti formule za tablične integrale:

-2\ln{x}+2\ln{(x-2)}-\frac{3}{x-2}

Srediti izraz:

\ln{(\frac{x-2}{2})^2}-\frac{3}{x-2}+C

$\int{\frac{x-8}{x^3-4x^2+4x}\space dx}$