Integral racionalne funkcije sa (x + 1) na treći

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{x^2+2}{(x-2)(x+1)^3}\space dx}

REŠENJE ZADATKA

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{x^2+2}{(x-2)(x+1)^3}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}+\frac{D}{(x+1)^3}

Pomnožiti imeniocem $(x-2)(x+1)^3$ obe strane jednačine.

x^2+2=A(x+1)^3+B(x-2)(x+1)^2+C(x-2)(x+1)+D(x-2)

Osloboditi se zagrada.

x^2+2=Ax^3+3Ax^2+3Ax+A+Bx^3-3Bx-2B+Cx^2-Cx-"c+Dx-2D

Grupisati sve članove izraza tako da se izdvoje oni uz $x^2,$ zatim oni uz $x$ i na kraju slobodni članovi.

x^2+2=x^3(A+B)+x^2(3A+C)+x(3A-3B-C+D)+A-2B-2C-2D

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

A+B=0

3A+C=1

3A-3B-C+D=0

A-2B-2C-2D=2

Rešenje sistema je:

A=\frac{2}{9},\quad B=-\frac{2}{9},\quad C=\frac{1}{3},\quad D=-1

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{\frac{x^2+2}{(x-2)(x+1)^3}\space dx}=\int{\frac{A}{(x-2)}\space dx}+\int{\frac{B}{x+1}\space dx}+\int{\frac{C}{(x+1)^2}\space dx}+\int{\frac{D}{(x+1)^3}\space dx}

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B, C$ i $D$

\int{\frac{x^2+2}{(x-2)(x+1)^3}\space dx}=\int{\frac{\frac{2}{9}}{(x-2)}\space dx}+\int{\frac{-\frac{2}{9}}{x+1}\space dx}+\int{\frac{\frac{1}{3}}{(x+1)^2}\space dx}+\int{\frac{-1}{(x+1)^3}\space dx}

Primeniti formule za tablične integrale i srediti izraz:

\frac{2}{9}\ln{|x-2|}-\frac{2}{9}\ln{|x+1|}-\frac{1}{3(x+1)}+\frac{1}{2(x+1)^2}+C=\frac{2}{9}\ln{|\frac{x-2}{x+1}|}-\frac{2(x+1)-3}{6(x+1)^2}+C

$\int{\frac{x^2+2}{(x-2)(x+1)^3}\space dx}$