Integral: x kroz (x − 1)(x na 2 + 1)

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}}\space dx

REŠENJE ZADATKA

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{Bx+C}{(x^2+1)}

Pomnožiti imeniocem $(x-1)(x^2+1)$ obe strane jednačine.

x=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)

Osloboditi se zagrada.

x=Ax^2+A+Bx^2-Bx+Cx-C

Grupisati sve članove izraza tako da se izdvoje oni uz $x^2,$ zatim oni uz $x$ i na kraju slobodni članovi.

x=x^2(A+B)+x(-B+C)+A-C

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

1. \quad A+B=0

2. \quad -B+C=1

3. \quad A-C=0

Rešenje sistema je:

A=C=\frac{1}{2},\quad B=-\frac{1}{2}

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}}\space dx=\int{\frac{A}{(x-1)}}\space dx+\int{\frac{Bx+C}{(x^2+1)}}

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

\int{\frac{\frac{1}{2}}{(x-1)}}\space dx+\int{\frac{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{(x^2+1)}}\space dx=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{(x-1)}}\space dx-\frac{1}{2}\int{\frac{x-1}{(x^2+1)}}\space dx

Uvesti smenu: $t=x-1$ i primeniti tablični integral: $\int{\frac{1}{x}\space dx = \ln{|x| + C}}$ prilikom rešavanja integrala: $\int{\frac{1}{(x-1)}}\space dx.$

\int{\frac{1}{(x-1)}}\space dx = \ln{|x-1|}+C

Rešiti integral: $\int{\frac{x-1}{(x^2+1)}}\space dx:$

\int{\frac{x-1}{(x^2+1)}}\space dx=\frac{1}{2}\ln{|x^2+1|}-\arctg{x}+C

Rešenje početnog integrala:

\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}}\space dx=\ln{|x-1|}+\frac{1}{2}\ln{|x^2+1|}-\arctg{x}+C

Započni učenje

Online časovi

$\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}\space dx}$

Beleške

∫x(x−1)(x2+1) dx\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}\space dx}∫(x−1)(x2+1)x​ dx

$\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}\space dx}$