Integral: (x + 2) kroz x(x − 1)(x + 1)

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{x+2}{x(x-1)(x+1)}}\space dx

REŠENJE ZADATKA

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{x+2}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}

Pomnožiti imeniocem $x(x-1)(x+1)$ obe strane jednačine.

x+2=A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)

Osloboditi se zagrada:

x+2=Ax^2-A+Bx^2+Bx+Cx^2-Cx

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

A+B+C=0

B-C=1

-A=2\rArr A=-2

Rešenje sistema je:

A=-2, \space B=\frac{3}{2}, \space C=\frac{1}{2}

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{\frac{x+2}{x(x-1)(x+1)}}\space dx=\int{\frac{A}{x}}\space dx+\int{\frac{B}{(x-1)}}\space dx+\int{\frac{C}{(x+1)}}\space dx

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

\int{\frac{-2}{x}}\space dx+\int{\frac{\frac{3}{2}}{(x-1)}}\space dx+\int{\frac{\frac{1}{2}}{(x+1)}}\space dx

Uvesti smene: $t_1=x-1$ i $t_2=x+1$ i primeniti tablični integral $\int{\frac{1}{x}}\space dx=\ln{x}+C$

-2\ln{x}+\frac{3}{2}\ln{|x-1|}+\frac{1}{2}\ln{|x+1|}+C=\ln{|\frac{\sqrt{(x-1)^3(x+1)}}{x^2}|}+C

$\int{\frac{x+2}{x(x-1)(x+1)}\space dx}$