Integral sa imeniocem x(x − 1)(x − 2)

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{6x^2-13x+4}{x^3-3x^2+2x}}\space dx

REŠENJE ZADATKA

Rastaviti imenilac na proste činioce.

\frac{6x^2-13x+4}{x^3-3x^2+2x}=\frac{6x^2-13x+4}{x(x^2-3x+2)}=\frac{6x^2-13x+4}{x(x-1)(x-2)}

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{6x^2-13x+4}{x(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-2}

Pomnožiti imeniocem $x(x-1)(x-2)$ obe strane jednačine.

6x^2-13x+4=A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1)

Osloboditi se zagrada.

6x^2-13x+4=Ax^2-3Ax+2A+Bx^2-2Bx+Cx^2-Cx

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

6=A+B+C

-13=-3A-2B-C

4=2A

Rešenje sistema je:

A=2, \quad B=3,\quad C=1

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{\frac{6x^2-13x+4}{x^3-3x^2+2x}}\space dx=\int{\frac{A}{x}\space dx}+\int{\frac{B}{x-1}\space dx}+\int{\frac{C}{x-2}\space dx}

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

\int{\frac{2}{x}\space dx}+\int{\frac{3}{x-1}\space dx}+\int{\frac{1}{x-2}\space dx}

Uvesti smene $t_1=x-1$ i $t_2=x-2$ i primeniti formulu za tablični integral $\int{\frac{dx}{x}}=\ln{x}+C$

2\ln{x}+3\ln{|x-1|}+\ln{|x-2|}+C=\ln{|x^2(x-1)^3(x-2)|}+C

$\int{\frac{6x^2-13x+4}{x^3-3x^2+2x}\space dx}$