Integral: 1 kroz x na 3 + 1

Rastaviti imenilac na proste činioce.

\int{\frac{1}{x^3+1}}\space dx=\int{\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}}\space dx

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}

Pomnožiti imeniocem $(x+1)(x^2-x+1)$ obe strane jednačine.

1=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)

Osloboditi se zagrada.

1=Ax^2-Ax+A+Bx^2+Bx+Cx+C

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

A+B=0

-A+B+C=0

A+C=1

Rešenje sistema je:

A=\frac{1}{3}, \quad B=-\frac{1}{3}, \quad C=\frac{2}{3}

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

\int{\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}}\space dx=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+1}}\space dx+\int{\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{(x^2-x+1)}}\space dx

Integral $\int{\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{(x^2-x+1)}}\space dx$ potrebno je rastaviti:

\int{\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{(x^2-x+1)}}\space dx=-\frac{1}{3}\int{\frac{x-2}{(x^2-x+1)}}\space dx=-\frac{1}{3}\int{\frac{\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{3}{2}}{(x^2-x+1)}}\space dx

Primeniti pravilo za sabiranje tj. oduzimanje integrala:

-\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1}}\space dx-\frac{3}{2}\int{\frac{1}{x^2-x+1}}\space dx)=-\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1}}\space dx-\frac{3}{2}\int{\frac{1}{x^2-x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}\space dx)

Primenom formule za kvadratnu jednačinu $x^2-x+\frac{1}{4}$ dobija se rešenje $x=\frac{1}{2}.$

\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1}}\space dx-\frac{3}{2}\int{\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}}\space dx)

Uvesti smene $t=x^2-x+1$ i i $m=x-\frac{1}{2}$ i primeniti tablične integrale:

-\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\ln{t}-\sqrt{3}\arctg{\frac{m}{\sqrt{3}}})

Vratiti smenu:

-\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\ln{(x^2-x+1)-\sqrt{3}}\arctg{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}})+C

Vratiti se na rešavanje integrala.

\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+1}}\space dx+\int{\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{(x^2-x+1)}}\space dx=\frac{1}{3}\ln{|x+1|}-\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\ln{(x^2-x+1)-\sqrt{3}}\arctg{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}})+C

Srediti izraz:

\frac{1}{6}\ln{\frac{(x+1)^2}{x^2-x+1}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctg{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}}+C

$\int{\frac{1}{x^3+1}}\space dx$