684. Integral racionalne funkcije

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{x^5+2}{x^3-1}}\space dx

REŠENJE ZADATKA

Pri deljenju razlomka dobija se rešenje $x^2$ i ostatak $x^2+2.$

\int{\frac{x^5+2}{x^3-1}}\space dx=\int{x^2}\space dx+\int{\frac{x^2+2}{x^3-1}}\space dx

Integral $\int{\frac{x^2+2}{x^3-1}}\space dx$ potrebno je rešiti na sledeći način.

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{x^2+2}{x^3-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}

Pomnožiti imeniocem $(x-1)(x^2+x+1)$ obe strane jednačine.

x^2+2=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)

Osloboditi se zagrada.

x^2+2=Ax^2+Ax+A+Bx^2-Bx+Cx-C

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

A+B=1

A-B+C=0

A-C=2

Rešenje sistema je:

A=1, \quad B=0, \quad C=-1

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{x^2}\space dx+\int{\frac{A}{x-1}}\space dx+\int{\frac{Bx+C}{x^2+x+1}}\space dx

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

\int{x^2}\space dx+\int{\frac{1}{x-1}}\space dx+\int{\frac{-1}{x^2+x+1}}\space dx

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

\int{x^2}\space dx+\int{\frac{1}{x-1}}\space dx-\int{\frac{1}{x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}\space dx=\int{x^2}\space dx+\int{\frac{1}{x-1}}\space dx-\int{\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}}\space dx

Uvesti smenu $m=x+\frac{1}{2}$ i primeniti formule za tablične integrale:

\frac{x^3}{3}+\ln{|x-1|}+\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\arctg{\frac{m}{\sqrt{\frac{3}{4}}}}

Srediti izraz:

\frac{x^3}{3}+\ln{|x-1|}-\frac{2}{\sqrt{3}}\arctg{\frac{2m}{\sqrt{3}}}

Vratiti smenu:

\frac{x^3}{3}+\ln{|x-1|}-\frac{2}{\sqrt{3}}\arctg{\frac{2x+1}{\sqrt{3}}}+C

∫x5+2x3−1 dx\int{\frac{x^5+2}{x^3-1}}\space dx∫x3−1x5+2​ dx