Integral sa imeniocem (x na 2 + 2)(x na 2 + 4)

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{x^3-6}{x^4+6x^2+8}}\space dx

REŠENJE ZADATKA

Rastaviti imenilac na proste činioce.

\int{\frac{x^3-6}{x^4+6x^2+8}}\space dx= \int{\frac{x^3-6}{(x^2+2)(x^2+4)}}\space dx

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B, C$ i $D$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{x^3-6}{(x^2+2)(x^2+4)}=\frac{A+Bx}{(x^2+2)}+\frac{C+Dx}{(x^2+4)}

Pomnožiti imeniocem $(x^2+2)(x^2+4)$ obe strane jednačine.

x^3-6=(A+Bx)(x^2+4)+(C+Dx)(x^2+2)

Osloboditi se zagrada.

x^2-6=Ax^2+4A+Bx^3+4Bx+Cx^2+2C+Dx^3+2Dx

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

A+C=0

4B+2D=0

B+D=1

4A+2C=-6

Rešenje sistema je:

A=-3, \quad B=-1, \quad C=3, \quad D=2

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{\frac{x^3-6}{(x^2+2)(x^2+4)}}\space dx=\int{\frac{A+Bx}{x^2+2}}\space dx+\int{\frac{C+Dx}{x^2+4}}\space dx

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B, C$ i $D$

\int{\frac{x^3-6}{(x^2+2)(x^2+4)}}\space dx=\int{\frac{-3-x}{x^2+2}}\space dx+\int{\frac{3+2x}{x^2+4}}\space dx

Primeniti pravilo za sabiranje, tj. oduzimanje integrala:

-3\int{\frac{1}{x^2+2}}\space dx-\int{\frac{x}{x^2+2}}\space dx+3\int{\frac{1}{x^2+4}}\space dx+2\int{\frac{x}{x^2+4}}\space dx

Uvesti smene $t=x^2+2$ i $m=x^2+4$ i primeniti tablične integrale.

-\frac{3}{\sqrt{2}}\arctg{\frac{x}{\sqrt{2}}}-\frac{1}{2}\ln{|t|}+\frac{3}{2}\arctg{\frac{x}{2}}+\ln{|m|}

Vratiti smenu.

-\frac{3}{\sqrt{2}}\arctg{\frac{x}{\sqrt{2}}}+\frac{3}{2}\arctg{\frac{x}{2}}+\ln{|\frac{x^2+4}{\sqrt{x^2+2}}|}+C

$\int{\frac{x^3-6}{x^4+6x^2+8}}\space dx$