Integral racionalne funkcije: x na 5 kroz x na 3 − 1

Deljenjem $x^5$ sa $x^3-1$ dobije se rešenje $x^2$ sa ostatkom $x^2:$

\frac{x^5}{x^3-1}=x^2+\frac{x^2}{x^3-1}

Početni integral se može zapisati drugačije:

\int{\frac{x^5}{x^3-1}\space dx}=\int{x^2\space dx}+\int{\frac{x^2}{x^3-1}\space dx}

Izraz $\frac{x^2}{x^3-1}$ je racionalna funkcija te je potrebno imenilac rastaviti nana proste činioce

\frac{x^2}{x^3-1}=\frac{x^2}{(x-1)(x^2+x+1)}

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{x^2}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}

Pomnožiti imeniocem $(x-1)(x^2+x+1)$ obe strane jednačine.

x^2=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)

Osloboditi se zagrada.

x^2=Ax^2+Ax+A+Bx^2-Bx+Cx-C

Grupisati sve članove izraza tako da se izdvoje oni uz $x^2,$ zatim oni uz $x$ i na kraju slobodni članovi.

A+B=1

A-B+C=0

A-C=0

Rešenje sistema je:

A=C=\frac{1}{3},\quad B=\frac{2}{3}

Vratiti se na rešavanje integrala i uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

\int{\frac{x^2}{x^3-1}}\space dx=\int{\frac{\frac{1}{3}}{x-1}}\space dx+\int{\frac{\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}}{x^2+x+1}}\space dx=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x^3-1}}\space dx+\frac{1}{3}\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1}}\space dx

Inetgral $\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1}}\space dx$ rešiti smenom $t=x^2+x+1$ te odrediti prvi izvod izraza:

dt=(2x+1)\space dx

Vratiti dobijeni izraz u rešenje početnog integrala:

\frac{1}{3}\ln{|x-1|}+\frac{1}{3}\ln{|x^2+x+1|}+C

Srediti izraz:

\frac{1}{3}\ln{|(x-1)(x^2+x+1)|}+C=\frac{1}{3}\ln{|x^3-1|}+C

$\int{\frac{x^5}{x^3-1}\space dx}$