682.

Integral racionalne funkcije

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

∫1x3+1 dx\int{\frac{1}{x^3+1}}\space dx
REŠENJE ZADATKA

Rastaviti imenilac na proste činioce.

∫1x3+1 dx=∫1(x+1)(x2−x+1) dx\int{\frac{1}{x^3+1}}\space dx=\int{\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}}\space dx

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su A,BA, B i CC nepoznate konstante koje treba odrediti.

1(x+1)(x2−x+1)=Ax+1+Bx+Cx2−x+1\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}

Pomnožiti imeniocem (x+1)(x2−x+1)(x+1)(x^2-x+1) obe strane jednačine.

1=A(x2−x+1)+(Bx+C)(x+1)1=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)

Osloboditi se zagrada.

1=Ax2−Ax+A+Bx2+Bx+Cx+C1=Ax^2-Ax+A+Bx^2+Bx+Cx+C

Koeficijenti uz iste stepene xx moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

A+B=0A+B=0
−A+B+C=0-A+B+C=0
A+C=1A+C=1

Rešenje sistema je:

A=13,B=−13,C=23A=\frac{1}{3}, \quad B=-\frac{1}{3}, \quad C=\frac{2}{3}

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata A,BA, B i CC

∫1(x+1)(x2−x+1) dx=13∫1x+1 dx+∫−13x+23(x2−x+1) dx\int{\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}}\space dx=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+1}}\space dx+\int{\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{(x^2-x+1)}}\space dx

Integral ∫−13x+23(x2−x+1) dx\int{\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{(x^2-x+1)}}\space dxpotrebno je rastaviti:

∫−13x+23(x2−x+1) dx=−13∫x−2(x2−x+1) dx=−13∫12(2x−1)−32(x2−x+1) dx\int{\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{(x^2-x+1)}}\space dx=-\frac{1}{3}\int{\frac{x-2}{(x^2-x+1)}}\space dx=-\frac{1}{3}\int{\frac{\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{3}{2}}{(x^2-x+1)}}\space dx

Primeniti pravilo za sabiranje tj. oduzimanje integrala:

−13(12∫2x−1x2−x+1 dx−32∫1x2−x+1 dx)=−13(12∫2x−1x2−x+1 dx−32∫1x2−x+14+34 dx)-\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1}}\space dx-\frac{3}{2}\int{\frac{1}{x^2-x+1}}\space dx)=-\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1}}\space dx-\frac{3}{2}\int{\frac{1}{x^2-x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}\space dx)

Primenom formule za kvadratnu jednačinu x2−x+14x^2-x+\frac{1}{4}dobija se rešenje x=12.x=\frac{1}{2}.

13(12∫2x−1x2−x+1 dx−32∫1(x−12)2+34 dx)\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1}}\space dx-\frac{3}{2}\int{\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}}\space dx)

Uvesti smene t=x2−x+1t=x^2-x+1i im=x−12m=x-\frac{1}{2} i primeniti tablične integrale:

−13(12ln⁡t−3arctg⁡m3)-\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\ln{t}-\sqrt{3}\arctg{\frac{m}{\sqrt{3}}})

Vratiti smenu:

−13(12ln⁡(x2−x+1)−3arctg⁡2x−13)+C-\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\ln{(x^2-x+1)-\sqrt{3}}\arctg{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}})+C

Vratiti se na rešavanje integrala.

13∫1x+1 dx+∫−13x+23(x2−x+1) dx=13ln⁡∣x+1∣−13(12ln⁡(x2−x+1)−3arctg⁡2x−13)+C\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+1}}\space dx+\int{\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{(x^2-x+1)}}\space dx=\frac{1}{3}\ln{|x+1|}-\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\ln{(x^2-x+1)-\sqrt{3}}\arctg{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}})+C

Srediti izraz:

16ln⁡(x+1)2x2−x+1+13arctg⁡2x−13+C\frac{1}{6}\ln{\frac{(x+1)^2}{x^2-x+1}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctg{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}}+C

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti