625. Integral racionalne funkcije

Odrediti integral:

\int{\frac{7x+1}{6x^2+x-1}\space dx}

Rastaviti imenilac na proste činioce primenom formule za kvadratnu funkciju:

6x^2+x -1 = 0 \\ x_{1,2}=\frac {-1\pm\sqrt{1+24} } {2\cdot6} \\ x_{1,2}=\frac {-1\pm\sqrt{25} } {12} \\ x_1= \frac{4}{12}=\frac{1}{3} \quad \lor \quad x_2=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{7x+1}{6(x-\frac{1}{3})(x+\frac{1}{2})}=\frac{7x+1}{(3x-1)(2x+1)}=\frac{A}{3x-1}+\frac{B}{2x+1}

Pomnožiti imeniocem $(3x-1)(2x+1)$ obe strane jednačine.

7x+1=A(2x+1)+B(3x-1)

Osloboditi se zagrada.

7x+1=2Ax+A+3Bx-B

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

7=2A+3B

1=A-B

Rešenje sistema je:

A=2,\quad B=1

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{\frac{7x+1}{6x^2+x-1}\space dx}=\int{\frac{A}{3x-1}\space dx}+\int{\frac{B}{2x+1}\space dx}

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A$ i $B$

\int{\frac{2}{3x-1}\space dx}+\int{\frac{1}{2x+1}\space dx}

Uvesti smene $t=3x-1$ i $m=2x+1$ i primeniti formulu za tablični integral $\int{\frac{dx}{x}}=\ln{x}+C$

\frac{2}{3}\int{\frac{1}{t}}\space dt+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{m}}\space dm=\frac{2}{3}\ln{t}+\frac{1}{2}\ln{m}+C

Vratiti smenu:

\frac{2}{3}\ln{|3x-1|}+\frac{1}{2}\ln{|2x+1|}+C

625.Integral racionalne funkcije