624. Integral racionalne funkcije

Odrediti integral:

\int{\frac{3x+5}{x^3-x^2-x+1}}\space dx

Rastaviti imenilac na proste činioce.

\frac{3x+5}{x^3-x^2-x+1}=\frac{3x+5}{x^2(x-1)-(x-1)}=\frac{3x+5}{(x-1)(x^2-1)}=\frac{3x+5}{(x-1)(x-1)(x+1)}

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{3x+5}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1}

Pomnožiti imeniocem $(x-1)^2(x+1)$ obe strane jednačine.

3x+5=A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1)^2

Osloboditi se zagrada.

3x+5=Ax^2-A+Bx+B+Cx^2-2Cx+C

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

A+C=0

B-2C=3

-A+B+C=5

Rešenje sistema je:

A=-\frac{1}{2},\quad B=4, \quad C=\frac{1}{2}

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{\frac{3x+5}{(x-1)^2(x+1)}}\space dx=\int{\frac{A}{x-1}\space dx}+\int{\frac{B}{(x-1)^2}\space dx}+\int{\frac{C}{(x+1)}\space dx}

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}\space dx}+4\int{\frac{1}{(x-1)^2}\space dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{(x+1)}\space dx}

Uvesti smene $t_1=x-1$ i $t_2=x+1$ i primeniti formule za tablične integrale $\int{\frac{dx}{x}}=\ln{x}+C$ i $\int{x^n}\space dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

-\frac{1}{2}\ln{|x-1|}+4\frac{(x-1)^{-1}}{-1}+\frac{1}{2}\ln{|x+1|}+C=\ln{|\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}|}-\frac{4}{x-1}+C

624.Integral racionalne funkcije

624.
Integral racionalne funkcije