Dokaz identiteta sa razlikom kubova sinusa i kosinusa

Polazimo od leve strane jednakosti.

\frac{\sin^3 x - \cos^3 x}{1 + \sin x \cos x}

Primenjujemo formulu za razliku kubova na brojilac: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) .$

\sin^3 x - \cos^3 x = (\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x)

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ da bismo uprostili drugu zagradu.

(\sin x - \cos x)(\underbrace{\sin^2 x + \cos^2 x}_{1} + \sin x \cos x) = (\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x)

Zamenjujemo dobijeni izraz nazad u brojilac početnog razlomka.

\frac{(\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x)}{1 + \sin x \cos x}

Skraćujemo razlomak sa izrazom $1 + \sin x \cos x .$

\sin x - \cos x

Dobili smo izraz sa desne strane, čime je identitet dokazan.

\sin x - \cos x = \sin x - \cos x

930