Dokaz identiteta sa kvadratom sinusa i kosinusa x

Polazimo od leve strane identiteta:

\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos^2 x(\sin x + \cos x)}{\sin^2 x - \cos^2 x}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na imenilac drugog razlomka:

\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos^2 x(\sin x + \cos x)}{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}

Skraćujemo drugi razlomak sa $\sin x + \cos x :$

\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x - \cos x}

Sada imamo razlomke sa istim imeniocem, pa ih možemo oduzeti:

\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x - \cos x}

Ponovo primenjujemo formulu za razliku kvadrata, ovog puta na brojilac:

\frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x - \cos x}

Skraćujemo razlomak sa $\sin x - \cos x$ i dobijamo desnu stranu identiteta:

\sin x + \cos x

Time je identitet dokazan.

923