Dokaz identiteta sa dvostrukim proizvodom funkcija

Polazimo od leve strane jednakosti. Prvo ćemo izraziti kotangens preko sinusa i kosinusa koristeći osnovnu relaciju $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .$

\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha \cos \alpha}

U imeniocu možemo izvući $\cos \alpha$ ispred zagrade kao zajednički činilac.

\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha \left( \frac{1}{\sin \alpha} - \sin \alpha \right)}

Svodimo izraz u zagradi na zajednički imenilac.

\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha \left( \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha} \right)}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ,$ odakle sledi da je $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha .$

\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha}}

Množimo izraze u imeniocu.

\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}}

Rešavamo dvojni razlomak tako što množimo spoljašnje i unutrašnje članove.

\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha \cdot \sin \alpha}{\cos^3 \alpha} = \frac{2 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\cos^3 \alpha}

Skraćujemo razlomak sa $\cos \alpha .$

\frac{2 \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}

Zapisujemo dobijeni izraz preko tangensa, koristeći relaciju $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .$

2 \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right)^2 = 2 \text{tg}^2 \alpha

Dobili smo izraz koji se nalazi na desnoj strani jednakosti, čime je identitet dokazan.

Započni učenje

Online časovi

922

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci