Dokaz identiteta sa kvadratom kotangensa alfa

Polazimo od leve strane jednakosti. Prva dva člana možemo faktorisati kao razliku kvadrata koristeći formulu $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) .$

\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .$

(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha

Sada posmatramo treći član izraza. Zapisujemo kotangens preko sinusa i kosinusa koristeći relaciju $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .$

\sin^2 \alpha \cdot \text{ctg}^2 \alpha = \sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Skraćujemo $\sin^2 \alpha$ u trećem članu.

\sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha

Zamenjujemo dobijene rezultate nazad u početni izraz za levu stranu.

(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) + \cos^2 \alpha

Sređujemo izraz poništavanjem suprotnih članova $-\cos^2 \alpha$ i $\cos^2 \alpha .$

\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani početne jednakosti, čime je identitet dokazan.

\sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha

Započni učenje

Online časovi

933

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci