Dokaz identiteta sa razlikom dva razlomka

Polazimo od leve strane jednakosti. Svodićemo razlomke na zajednički imenilac, koji je $(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) .$

\frac{\cos \alpha(1 + \cos \alpha) - \cos \alpha(1 - \cos \alpha)}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}

Sređujemo brojilac množenjem, a u imeniocu primenjujemo formulu za razliku kvadrata.

\frac{\cos \alpha + \cos^2 \alpha - (\cos \alpha - \cos^2 \alpha)}{1 - \cos^2 \alpha}

Oslobađamo se zagrade u brojiocu.

\frac{\cos \alpha + \cos^2 \alpha - \cos \alpha + \cos^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha}

U brojiocu se potiru $\cos \alpha$ i $-\cos \alpha ,$ pa ostaje $2\cos^2 \alpha .$ U imeniocu primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ,$ odakle sledi da je $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha .$

\frac{2\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Zapisujemo dobijeni izraz izdvajanjem konstante ispred razlomka.

2 \left( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right)^2

Koristimo definiciju kotangensa $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .$

2 \text{ctg}^2 \alpha

Dobili smo izraz koji se nalazi na desnoj strani jednakosti, čime je identitet uspešno dokazan.

\frac{\cos \alpha}{1 - \cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = 2 \text{ctg}^2 \alpha

Započni učenje

Online časovi

929.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci