Dokaz identiteta sa kvadratom zbira sinusa i kosinusa

Posmatramo levu stranu jednakosti:

\frac{\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha}{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}

Kvadriramo izraz u imeniocu koristeći formulu za kvadrat binoma $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 :$

\frac{\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha}{1 - (\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)}

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ u imeniocu:

\frac{\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha}{1 - (1 + 2\sin \alpha \cos \alpha)}

Uprošćavamo imenilac oslobađanjem od zagrade:

\frac{\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha}{1 - 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha}{-2\sin \alpha \cos \alpha}

Zamenjujemo $\text{ctg} \alpha$ sa $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ u brojiocu:

\frac{\sin \alpha \cos \alpha - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{-2\sin \alpha \cos \alpha}

Izvlačimo zajednički činilac $\cos \alpha$ u brojiocu:

\frac{\cos \alpha \left(\sin \alpha - \frac{1}{\sin \alpha}\right)}{-2\sin \alpha \cos \alpha}

Skraćujemo razlomak sa $\cos \alpha :$

\frac{\sin \alpha - \frac{1}{\sin \alpha}}{-2\sin \alpha}

Svodimo izraz u brojiocu na zajednički imenilac:

\frac{\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin \alpha}}{-2\sin \alpha}

Uprošćavamo dvojni razlomak:

\frac{\sin^2 \alpha - 1}{-2\sin^2 \alpha}

Iz osnovnog trigonometrijskog identiteta sledi da je $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha .$ Zamenjujemo ovo u brojiocu:

\frac{-\cos^2 \alpha}{-2\sin^2 \alpha}

Skraćujemo minuse i izdvajamo konstantu:

\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Kako je $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg} \alpha ,$ dobijamo konačan izraz koji je jednak desnoj strani početne jednakosti, čime je identitet dokazan:

\frac{1}{2} \text{ctg}^2 \alpha

Započni učenje

Online časovi

929.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci