Uprostiti izraz sa kvadratom kosekansa alfa

Zapišimo izraz koristeći osnovne trigonometrijske funkcije sinus i kosinus. Znamo da je $\text{cosec} \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$ i $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .$

\frac{2 - \frac{1}{\sin^2 \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - 1} - \frac{1}{\sin^2 \alpha} + 1

Svodimo izraze u brojiocu, imeniocu i van razlomka na zajednički imenilac.

\frac{\frac{2\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}}{\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha}} + \frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ da uprostimo izraze $2\sin^2 \alpha - 1$ i $\sin^2 \alpha - 1 .$

\begin{aligned} 2\sin^2 \alpha - 1 &= 2\sin^2 \alpha - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \\ \sin^2 \alpha - 1 &= -\cos^2 \alpha \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u glavni izraz.

\frac{\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha}} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Primenjujemo razliku kvadrata u brojiocu prvog razlomka i rešavamo dvojni razlomak.

\frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha) \cos \alpha}{\sin^2 \alpha (\sin \alpha - \cos \alpha)} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Kako je dato da je $\text{tg}\, \alpha \neq 1 ,$ sledi da je $\sin \alpha \neq \cos \alpha ,$ pa možemo skratiti $\sin \alpha - \cos \alpha .$

\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)\cos \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Množimo izraze u brojiocu prvog razlomka.

\frac{\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Oduzimamo razlomke pošto imaju isti imenilac.

\frac{\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Sređujemo brojilac.

\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}

Skraćujemo $\sin \alpha$ i dobijamo konačan rezultat koristeći definiciju kotangensa $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .$

\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg} \alpha

Započni učenje

Online časovi

912

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci