Kakav je trougao ako je zbir kvadrata sinusa 1

Polazimo od date jednakosti:

\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = 1

Izražavamo $\sin^2 \beta :$

\sin^2 \beta = 1 - \sin^2 \alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ,$ odakle je $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha :$

\sin^2 \beta = \cos^2 \alpha

Pošto su $\alpha$ i $\beta$ oštri uglovi, njihove trigonometrijske funkcije su pozitivne, pa možemo korenovati obe strane:

\sin \beta = \cos \alpha

Koristimo osobinu komplementarnih uglova $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha) :$

\sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha)

Pošto su uglovi oštri, iz jednakosti sinusa sledi jednakost uglova:

\beta = 90^\circ - \alpha

Prebacivanjem $\alpha$ na levu stranu dobijamo zbir oštrih uglova:

\alpha + \beta = 90^\circ

Zbir unutrašnjih uglova u trouglu je $180^\circ :$

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Zamenjujemo zbir $\alpha + \beta$ u jednačinu:

90^\circ + \gamma = 180^\circ

Računamo ugao $\gamma :$

\gamma = 90^\circ

Pošto je jedan ugao prav, zaključujemo da je trougao pravougli.

911