Dokaz identiteta sa kvadratom sinusa i tangensa

Polazimo od leve strane jednakosti:

\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{\sin x + \cos x}{1 - \text{tg}^2 x}

Koristimo osnovnu trigonometrijsku relaciju $\text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ i zamenjujemo u izraz:

\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{\sin x + \cos x}{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}

Svodimo izraz u imeniocu drugog razlomka na zajednički imenilac:

\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{\sin x + \cos x}{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}}

Sređujemo dvojni razlomak:

\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{(\sin x + \cos x) \cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ na imenilac drugog razlomka:

\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{(\sin x + \cos x) \cos^2 x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}

Skraćujemo razlomak sa $\sin x + \cos x :$

\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{\cos^2 x}{\cos x - \sin x}

Izvlačimo minus ispred drugog razlomka kako bismo izjednačili imenioce:

\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x - \cos x}

Sada kada imamo isti imenilac, oduzimamo razlomke:

\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x - \cos x}

Ponovo primenjujemo formulu za razliku kvadrata, ovog puta na brojilac:

\frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x - \cos x}

Kako je po uslovu zadatka $\sin x \neq \cos x ,$ odnosno $\sin x - \cos x \neq 0 ,$ možemo skratiti razlomak sa $\sin x - \cos x :$

\sin x + \cos x

Dobili smo izraz koji se nalazi na desnoj strani jednakosti, čime je identitet dokazan.

929.v