Dokaz identiteta sa četvrtim i trećim stepenima

Posmatrajmo levu stranu jednakosti. Prvo ćemo faktorisati brojilac prvog razlomka koristeći formulu za razliku kvadrata:

\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)

Zamenom u prvi razlomak i skraćivanjem dobijamo:

\frac{(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha

Na osnovu osnovnog trigonometrijskog identiteta $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ,$ vrednost prvog razlomka je:

\frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = 1

Sada ćemo faktorisati brojilac drugog razlomka koristeći formulu za zbir kubova:

\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)

Zamenom u drugi razlomak i skraćivanjem dobijamo:

\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha

Ponovo primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ na dobijeni izraz, pa je vrednost drugog razlomka:

\frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = 1 - \sin \alpha \cos \alpha

Sada oduzimamo pojednostavljeni drugi razlomak od pojednostavljenog prvog razlomka:

1 - (1 - \sin \alpha \cos \alpha)

Oslobađanjem od zagrade i sređivanjem izraza dobijamo konačan rezultat:

1 - 1 + \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani početne jednakosti, čime je identitet uspešno dokazan.

935