Dokaz identiteta sa četvrtim i šestim stepenima

Posmatramo levu stranu identiteta:

3(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) - 2(\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha)

Transformišemo izraz $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$ koristeći formulu za kvadrat binoma i osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 :$

\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Zatim transformišemo izraz $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha$ koristeći formulu za zbir kubova $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) :$

\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha)

Pošto je $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ,$ izraz se pojednostavljuje:

\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 \cdot (\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) = \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Koristeći prethodno dobijeni rezultat za $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha ,$ dobijamo:

\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Zamenjujemo dobijene izraze u početni izraz za levu stranu:

3(1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 2(1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)

Množimo i oslobađamo se zagrada:

3 - 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 2 + 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Skraćujemo suprotne članove i računamo konačan rezultat:

3 - 2 = 1

Dobili smo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen.

1 = 1

Započni učenje

Online časovi

920

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci