2714. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo trigonometrijsku formulu za razliku sinusa: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} .$

Uvrštavamo argumente $\alpha = x$ i $\beta = x + \frac{\pi}{4}$ u formulu:

y = 2 \sin \left( \frac{x - (x + \frac{\pi}{4})}{2} \right) \cos \left( \frac{x + (x + \frac{\pi}{4})}{2} \right)

Sređujemo izraze unutar zagrada:

y = 2 \sin \left( -\frac{\pi}{8} \right) \cos \left( x + \frac{\pi}{8} \right)

Koristimo osobinu neparnosti sinusne funkcije $\sin(-\theta) = -\sin \theta :$

y = -2 \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) \cos \left( x + \frac{\pi}{8} \right)

Da bismo odredili minimum funkcije, posmatramo vrednosti kosinusne funkcije. Znamo da je opseg kosinusa:

-1 \le \cos \left( x + \frac{\pi}{8} \right) \le 1

Pošto je koeficijent ispred kosinusa $-2 \sin \frac{\pi}{8}$ negativan (jer je $\sin \frac{\pi}{8} > 0$ ), minimum funkcije se dostiže kada je kosinus maksimalan, odnosno jednak 1.

y_{min} = -2 \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) \cdot 1 = -2 \sin \left( \frac{\pi}{8} \right)

Vrednost $\sin \frac{\pi}{8}$ možemo izračunati preko formule za polovinu ugla $\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} :$

\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}

Konačno računamo minimalnu vrednost:

y_{min} = -2 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = -\sqrt{2 - \sqrt{2}}

836