Uprošćavanje izraza: rezultat ctg kvadrat α kroz 2

Prvo ćemo uprostiti imenilac. Kvadriramo binom u imeniocu:

(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ da bismo uprostili dobijeni izraz:

\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha

Zamenjujemo ovo nazad u imenilac i uprošćavamo ga:

1 - (1 + 2\sin \alpha \cos \alpha) = 1 - 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = -2\sin \alpha \cos \alpha

Sada prelazimo na brojilac. Zapisujemo kotangens preko sinusa i kosinusa, koristeći identitet $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} :$

\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha = \sin \alpha \cos \alpha - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Svodićemo izraze u brojiocu na zajednički imenilac:

\frac{\sin^2 \alpha \cos \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha}

Izvlačimo zajednički činilac $\cos \alpha$ u brojiocu ovog razlomka:

\frac{\cos \alpha (\sin^2 \alpha - 1)}{\sin \alpha}

Iz osnovnog trigonometrijskog identiteta $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ sledi da je $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha .$ Primenjujemo ovo na naš izraz:

\frac{\cos \alpha (-\cos^2 \alpha)}{\sin \alpha} = \frac{-\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}

Sada vraćamo uprošćeni brojilac i imenilac u početni razlomak:

\frac{\frac{-\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}}{-2\sin \alpha \cos \alpha}

Rešavamo dvojni razlomak i kratimo negativne znake:

\frac{\cos^3 \alpha}{2\sin^2 \alpha \cos \alpha}

Skraćujemo $\cos \alpha$ u brojiocu i imeniocu:

\frac{\cos^2 \alpha}{2\sin^2 \alpha}

Prepoznajemo da je $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha ,$ pa je konačan rezultat:

\frac{1}{2}\text{ctg}^2 \alpha

Započni učenje

Privatni časovi

620

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci