2526.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

1+cos⁡2α1−cos⁡2α=ctg2α\frac{1 + \cos 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha} = \text{ctg}^2 \alpha
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo formulu za kosinus dvostrukog ugla na brojilac i imenilac. Znamo da je cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α. \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha . Takođe, koristimo osnovni trigonometrijski identitet 1=sin⁡2α+cos⁡2α 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha kako bismo transformisali jedinice.

(sin⁡2α+cos⁡2α)+(cos⁡2α−sin⁡2α)(sin⁡2α+cos⁡2α)−(cos⁡2α−sin⁡2α)=ctg2α\frac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)}{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)} = \text{ctg}^2 \alpha

Sređujemo izraz u brojiocu i imeniocu oslobađanjem od zagrada i grupisanjem sličnih članova.

sin⁡2α+cos⁡2α+cos⁡2α−sin⁡2αsin⁡2α+cos⁡2α−cos⁡2α+sin⁡2α=ctg2α\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha

U brojiocu se potiru sin⁡2α \sin^2 \alpha i −sin⁡2α, -\sin^2 \alpha , a u imeniocu cos⁡2α \cos^2 \alpha i −cos⁡2α. -\cos^2 \alpha . Sabiramo preostale članove.

2cos⁡2α2sin⁡2α=ctg2α\frac{2\cos^2 \alpha}{2\sin^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha

Skraćivanjem zajedničkog faktora 2 u brojiocu i imeniocu dobijamo odnos kvadrata kosinusa i sinusa.

cos⁡2αsin⁡2α=ctg2α\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha

Na osnovu definicije kotangensa ctg α=cos⁡αsin⁡α, \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} , zaključujemo da je leva strana jednaka desnoj strani.

ctg2α=ctg2α\text{ctg}^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti