2527.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz: (cos⁡2α+2sin⁡αcos⁡α−sin⁡2α)2. (\cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha - \sin^2 \alpha)^2 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo uočavamo delove izraza unutar zagrade koji odgovaraju formulama za dvostruki ugao. Grupišemo članove cos⁡2α \cos^2 \alpha i −sin⁡2α. -\sin^2 \alpha .

(cos⁡2α−sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α)2(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha)^2

Primenjujemo trigonometrijske identitete za kosinus i sinus dvostrukog ugla: cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha i sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α. \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha .

(cos⁡2α+sin⁡2α)2(\cos 2\alpha + \sin 2\alpha)^2

Sada primenjujemo formulu za kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

cos⁡22α+2sin⁡2αcos⁡2α+sin⁡22α\cos^2 2\alpha + 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha + \sin^2 2\alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 za ugao 2α, 2\alpha , kao i formulu za sinus dvostrukog ugla 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x 2 \sin x \cos x = \sin 2x gde je u ovom slučaju x=2α. x = 2\alpha .

(sin⁡22α+cos⁡22α)+(2sin⁡2αcos⁡2α)(\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha) + (2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha)

Zamenom dobijenih vrednosti dobijamo konačan uprošćeni izraz.

1+sin⁡4α1 + \sin 4\alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti