PrethodniSledeći
2524.

691.a

TEKST ZADATKA

Proveriti tačnost sledećeg identiteta:

(cos⁡5+sin⁡5)2=1+sin⁡10(\cos 5 + \sin 5)^2 = 1 + \sin 10
REŠENJE ZADATKA

Krenimo od leve strane izraza i primenimo formulu za kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

(cos⁡5+sin⁡5)2=cos⁡25+2sin⁡5cos⁡5+sin⁡25(\cos 5 + \sin 5)^2 = \cos^2 5 + 2 \sin 5 \cos 5 + \sin^2 5

Grupisanjem članova uočavamo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1. \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .

(cos⁡25+sin⁡25)+2sin⁡5cos⁡5(\cos^2 5 + \sin^2 5) + 2 \sin 5 \cos 5

Zamenimo zbir kvadrata jedinicom i primenimo formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α. \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha .

1+2sin⁡5cos⁡5=1+sin⁡(2⋅5)1 + 2 \sin 5 \cos 5 = 1 + \sin(2 \cdot 5)

Računamo vrednost u argumentu sinusa kako bismo dobili krajnji izraz.

1+sin⁡101 + \sin 10

Zaključujemo da je leva strana identiteta jednaka desnoj strani, čime je tvrdnja dokazana.

1+sin⁡10=1+sin⁡101 + \sin 10 = 1 + \sin 10

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu