2516.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Proveriti tačnost sledećeg identiteta:

cos⁡4cos⁡2−sin⁡2=cos⁡2+sin⁡2\frac{\cos 4}{\cos 2 - \sin 2} = \cos 2 + \sin 2
REŠENJE ZADATKA

Počinjemo od leve strane izraza. Primetimo da u brojiocu imamo funkciju dvostrukog ugla cos⁡4, \cos 4 , koju možemo zapisati kao cos⁡(2⋅2). \cos(2 \cdot 2) .

L=cos⁡(2⋅2)cos⁡2−sin⁡2L = \frac{\cos(2 \cdot 2)}{\cos 2 - \sin 2}

Primenjujemo formulu za kosinus dvostrukog ugla cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha na brojilac, gde je α=2. \alpha = 2 .

cos⁡4=cos⁡22−sin⁡22\cos 4 = \cos^2 2 - \sin^2 2

Sada uvrštavamo dobijeni izraz nazad u levu stranu identiteta.

L=cos⁡22−sin⁡22cos⁡2−sin⁡2L = \frac{\cos^2 2 - \sin^2 2}{\cos 2 - \sin 2}

Izraz u brojiocu prepoznajemo kao razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b), a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) , gde je a=cos⁡2 a = \cos 2 i b=sin⁡2. b = \sin 2 .

cos⁡22−sin⁡22=(cos⁡2−sin⁡2)(cos⁡2+sin⁡2)\cos^2 2 - \sin^2 2 = (\cos 2 - \sin 2)(\cos 2 + \sin 2)

Zamenjujemo razliku kvadrata u razlomak.

L=(cos⁡2−sin⁡2)(cos⁡2+sin⁡2)cos⁡2−sin⁡2L = \frac{(\cos 2 - \sin 2)(\cos 2 + \sin 2)}{\cos 2 - \sin 2}

Skraćujemo zajednički faktor (cos⁡2−sin⁡2) (\cos 2 - \sin 2) u brojiocu i imeniocu, uz uslov da je on različit od nule.

L=cos⁡2+sin⁡2L = \cos 2 + \sin 2

Upoređivanjem leve i desne strane zaključujemo da je identitet tačan.

L=D=cos⁡2+sin⁡2L = D = \cos 2 + \sin 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti