Dvojni razlomak sa 1 kroz (1 − x) i 1 kroz (1 + x)

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci manjih razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

1-x \neq 0 \implies x \neq 1 \quad \text{i} \quad 1+x \neq 0 \implies x \neq -1

Glavni imenilac celog izraza takođe ne sme biti jednak nuli.

\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x} \neq 0

Sređujemo izraz u glavnom imeniocu kako bismo našli preostali uslov.

\frac{1+x-(1-x)}{(1-x)(1+x)} \neq 0 \implies \frac{2x}{1-x^2} \neq 0 \implies 2x \neq 0 \implies x \neq 0

Dakle, uslovi definisanosti su da $x$ ne sme biti $0 ,$ $1 ,$ niti $-1 .$

x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}

Sada prelazimo na uprošćavanje izraza. Prvo svodimo brojilac glavnog razlomka na zajednički imenilac.

\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x} = \frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)} = \frac{2}{(1-x)(1+x)}

Zatim svodimo imenilac glavnog razlomka na zajednički imenilac.

\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x} = \frac{1+x-(1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{2x}{(1-x)(1+x)}

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u početni dvojni razlomak.

\frac{\frac{2}{(1-x)(1+x)}}{\frac{2x}{(1-x)(1+x)}}

Množimo spoljašnje i unutrašnje članove dvojnog razlomka (ili jednostavno skraćujemo zajednički imenilac $(1-x)(1+x)$ ).

\frac{2 \cdot (1-x)(1+x)}{2x \cdot (1-x)(1+x)} = \frac{2}{2x}

Na kraju, skraćujemo razlomak sa $2$ i dobijamo konačno rešenje.

\frac{1}{x}

650.v