Dvojni razlomak sa a kroz b i 3b kroz a

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli, pa mora važiti $a \neq 0$ i $b \neq 0 .$

a \neq 0, \quad b \neq 0

Takođe, glavni imenilac ne sme biti jednak nuli.

\frac{a}{b}+\frac{3b}{a}-4 \neq 0

Svođenjem na zajednički imenilac $ab$ dobijamo sledeći uslov:

\frac{a^2 + 3b^2 - 4ab}{ab} \neq 0 \implies a^2 - 4ab + 3b^2 \neq 0

Faktorišemo dobijeni izraz kako bismo našli uslove za $a$ i $b .$

a^2 - 3ab - ab + 3b^2 = a(a-3b) - b(a-3b) = (a-b)(a-3b) \neq 0

Iz ovoga zaključujemo dodatne uslove definisanosti:

a \neq b, \quad a \neq 3b

Sada svodimo brojilac glavnog razlomka na zajednički imenilac $ab .$

\frac{a}{b}-2-\frac{3b}{a} = \frac{a^2 - 2ab - 3b^2}{ab}

Faktorišemo brojilac dobijenog razlomka.

a^2 - 2ab - 3b^2 = a^2 - 3ab + ab - 3b^2 = a(a-3b) + b(a-3b) = (a-3b)(a+b)

Zamenjujemo faktorisane izraze za brojilac i imenilac nazad u početni izraz.

\frac{\frac{(a-3b)(a+b)}{ab}}{\frac{(a-b)(a-3b)}{ab}}

Množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova dvojnog razlomka (ili skraćivanjem zajedničkog imenioca $ab$ ) dobijamo:

\frac{ab(a-3b)(a+b)}{ab(a-b)(a-3b)}

Skraćujemo zajedničke faktore $ab$ i $a-3b$ (što je dozvoljeno jer smo utvrdili da je $a \neq 0 ,$ $b \neq 0$ i $a \neq 3b$ ). Konačan rezultat je:

\frac{a+b}{a-b}

650.b