4186.

629.v

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni algebarski izraz i odrediti uslove definisanosti:

2a+4−a−3a2−8a+16+a−916−a2\frac{2}{a+4} - \frac{a-3}{a^2-8a+16} + \frac{a-9}{16-a^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo vršimo faktorizaciju imenilaca kako bismo odredili uslove definisanosti i najmanji zajednički sadržalac. Primetimo da je a2−8a+16 a^2-8a+16 kvadrat binoma, a 16−a2 16-a^2 razlika kvadrata.

a2−8a+16=(a−4)216−a2=(4−a)(4+a)=−(a−4)(a+4)a^2-8a+16 = (a-4)^2 \\ 16-a^2 = (4-a)(4+a) = -(a-4)(a+4)

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

a+4≠0  ⟹  a≠−4a−4≠0  ⟹  a≠4a+4 \neq 0 \implies a \neq -4 \\ a-4 \neq 0 \implies a \neq 4

Sređujemo znake u izrazu kako bismo olakšali sabiranje. Menjamo znak trećeg razlomka izvlačenjem minusa ispred imenilaca.

2a+4−a−3(a−4)2−a−9(a−4)(a+4)\frac{2}{a+4} - \frac{a-3}{(a-4)^2} - \frac{a-9}{(a-4)(a+4)}

Najmanji zajednički sadržalac za imenioce je (a+4)(a−4)2. (a+4)(a-4)^2 . Proširujemo razlomke.

2(a−4)2−(a−3)(a+4)−(a−9)(a−4)(a+4)(a−4)2\frac{2(a-4)^2 - (a-3)(a+4) - (a-9)(a-4)}{(a+4)(a-4)^2}

Sređujemo brojilac razvijanjem kvadrata binoma i množenjem zagrada.

2(a2−8a+16)−(a2+4a−3a−12)−(a2−4a−9a+36)2(a^2 - 8a + 16) - (a^2 + 4a - 3a - 12) - (a^2 - 4a - 9a + 36)

Oslobađamo se zagrada i grupišemo slične članove.

2a2−16a+32−a2−a+12−a2+13a−362a^2 - 16a + 32 - a^2 - a + 12 - a^2 + 13a - 36

Sabiramo članove u brojiocu.

(2a2−a2−a2)+(−16a−a+13a)+(32+12−36)=−4a+8(2a^2 - a^2 - a^2) + (-16a - a + 13a) + (32 + 12 - 36) = -4a + 8

Zapisujemo konačan oblik izraza i izvlačimo zajednički faktor u brojiocu.

−4(a−2)(a+4)(a−4)2,a∈R∖{−4,4}\frac{-4(a-2)}{(a+4)(a-4)^2}, \quad a \in \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}