4187.

627.g

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni algebarski izraz:

yx2−xy+xxy−y2−x+yxy\frac{y}{x^2-xy} + \frac{x}{xy-y^2} - \frac{x+y}{xy}
REŠENJE ZADATKA

Prvo moramo odrediti uslove pod kojima je izraz definisan. Imenitelji ne smeju biti jednaki nuli.

x2−xy≠0  ⟹  x(x−y)≠0  ⟹  x≠0,x≠yxy−y2≠0  ⟹  y(x−y)≠0  ⟹  y≠0,x≠yxy≠0  ⟹  x≠0,y≠0x^2-xy \neq 0 \implies x(x-y) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq y \\ xy-y^2 \neq 0 \implies y(x-y) \neq 0 \implies y \neq 0, x \neq y \\ xy \neq 0 \implies x \neq 0, y \neq 0

Dakle, uslovi definisanosti su:

x≠0,y≠0,x≠yx \neq 0, \quad y \neq 0, \quad x \neq y

Rastavljamo imenioce na činioce kako bismo lakše pronašli najmanji zajednički sadržalac (NZS):

yx(x−y)+xy(x−y)−x+yxy\frac{y}{x(x-y)} + \frac{x}{y(x-y)} - \frac{x+y}{xy}

NZS za imenioce x(x−y), x(x-y) , y(x−y) y(x-y) i xy xy je xy(x−y). xy(x-y) . Proširujemo razlomke:

y⋅y+x⋅x−(x+y)(x−y)xy(x−y)\frac{y \cdot y + x \cdot x - (x+y)(x-y)}{xy(x-y)}

Sređujemo brojilac koristeći formulu za razliku kvadrata (x+y)(x−y)=x2−y2: (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 :

y2+x2−(x2−y2)xy(x−y)\frac{y^2 + x^2 - (x^2 - y^2)}{xy(x-y)}

Oslobađamo se zagrade i sabiramo slične članove:

y2+x2−x2+y2xy(x−y)=2y2xy(x−y)\frac{y^2 + x^2 - x^2 + y^2}{xy(x-y)} = \frac{2y^2}{xy(x-y)}

Skraćujemo razlomak sa y y (pošto je y≠0 y \neq 0 ):

2yx(x−y)\frac{2y}{x(x-y)}