4185.

629.d

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni algebarski izraz i odrediti uslove pod kojima je definisan:

x2+xy2x+4(3x2+3xy+0,75y2)2x+y\frac{x^2+xy}{2x} + \frac{4(3x^2+3xy+0,75y^2)}{2x+y}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenilac svakog razlomka mora biti različit od nule.

2x≠0  ⟹  x≠02x+y≠0  ⟹  y≠−2x2x \neq 0 \implies x \neq 0 \\ 2x + y \neq 0 \implies y \neq -2x

Sređujemo prvi razlomak izvlačenjem zajedničkog faktora x x u brojitelju.

x(x+y)2x=x+y2\frac{x(x+y)}{2x} = \frac{x+y}{2}

Sređujemo drugi razlomak. Prvo ćemo transformisati izraz u zagradi brojitelja. Primetimo da je 0,75=34. 0,75 = \frac{3}{4} .

3x2+3xy+0,75y2=3(x2+xy+0,25y2)=3(x2+xy+14y2)3x^2 + 3xy + 0,75y^2 = 3(x^2 + xy + 0,25y^2) = 3(x^2 + xy + \frac{1}{4}y^2)

Izraz u zagradi je kvadrat binoma (x+12y)2. (x + \frac{1}{2}y)^2 . Vraćamo to u drugi razlomak.

4⋅3(x2+xy+14y2)2x+y=12(x+12y)22x+y\frac{4 \cdot 3(x^2 + xy + \frac{1}{4}y^2)}{2x+y} = \frac{12(x + \frac{1}{2}y)^2}{2x+y}

Transformišemo izraz x+12y x + \frac{1}{2}y kako bismo mogli da skratimo razlomak.

x+12y=2x+y2  ⟹  (x+12y)2=(2x+y)24x + \frac{1}{2}y = \frac{2x+y}{2} \implies (x + \frac{1}{2}y)^2 = \frac{(2x+y)^2}{4}

Sada uvrštavamo ovo nazad u drugi razlomak i skraćujemo.

12⋅(2x+y)242x+y=3(2x+y)22x+y=3(2x+y)\frac{12 \cdot \frac{(2x+y)^2}{4}}{2x+y} = \frac{3(2x+y)^2}{2x+y} = 3(2x+y)

Sada sabiramo dva uprošćena dela izraza.

x+y2+3(2x+y)=x+y+2⋅3(2x+y)2\frac{x+y}{2} + 3(2x+y) = \frac{x+y + 2 \cdot 3(2x+y)}{2}

Sređujemo brojitelj do kraja.

x+y+6(2x+y)2=x+y+12x+6y2=13x+7y2\frac{x+y + 6(2x+y)}{2} = \frac{x+y + 12x + 6y}{2} = \frac{13x + 7y}{2}

Konačan rezultat uz navedene uslove.

13x+7y2,x≠0, y≠−2x\frac{13x + 7y}{2}, \quad x \neq 0, \, y \neq -2x