4281.

649.g

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i odredi uslove pod kojima je definisan:

a+b−cx+y−z:b2−c2−a2+2acx2+y2−z2+2xy\frac{a + b - c}{x + y - z} : \frac{b^2 - c^2 - a^2 + 2ac}{x^2 + y^2 - z^2 + 2xy}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo grupisati članove u imeniocu drugog razlomka kako bismo ih rastavili na činioce. Prepoznajemo kvadrat binoma (x+y)2. (x+y)^2 .

x2+y2−z2+2xy=(x2+2xy+y2)−z2=(x+y)2−z2x^2 + y^2 - z^2 + 2xy = (x^2 + 2xy + y^2) - z^2 = (x+y)^2 - z^2

Primenjujemo razliku kvadrata na dobijeni izraz u imeniocu.

(x+y)2−z2=(x+y−z)(x+y+z)(x+y)^2 - z^2 = (x+y-z)(x+y+z)

Slično, u brojiocu drugog razlomka izdvajamo minus ispred članova sa a a i c c da bismo dobili kvadrat binoma (a−c)2. (a-c)^2 .

b2−c2−a2+2ac=b2−(a2−2ac+c2)=b2−(a−c)2b^2 - c^2 - a^2 + 2ac = b^2 - (a^2 - 2ac + c^2) = b^2 - (a-c)^2

Primenjujemo razliku kvadrata na dobijeni izraz u brojiocu.

b2−(a−c)2=(b−(a−c))(b+(a−c))=(b−a+c)(a+b−c)b^2 - (a-c)^2 = (b - (a-c))(b + (a-c)) = (b - a + c)(a + b - c)

Sada možemo da zapišemo uslove definisanosti. Izraz je definisan ako su imenioci različiti od nule i ako je izraz kojim delimo različit od nule.

{x+y−z≠0(x+y−z)(x+y+z)≠0(b−a+c)(a+b−c)≠0\begin{cases} x + y - z \neq 0 \\ (x+y-z)(x+y+z) \neq 0 \\ (b-a+c)(a+b-c) \neq 0 \end{cases}

Iz prethodnog sistema dobijamo konačne uslove definisanosti:

x+y−z≠0,x+y+z≠0,b−a+c≠0,a+b−c≠0x+y-z \neq 0, \quad x+y+z \neq 0, \quad b-a+c \neq 0, \quad a+b-c \neq 0

Vraćamo se na početni izraz. Menjamo deljenje množenjem recipročnom vrednošću i ubacujemo rastavljene oblike.

a+b−cx+y−z⋅(x+y−z)(x+y+z)(b−a+c)(a+b−c)\frac{a + b - c}{x + y - z} \cdot \frac{(x+y-z)(x+y+z)}{(b - a + c)(a + b - c)}

Skraćujemo iste činioce u brojiocu i imeniocu: (a+b−c) (a+b-c) i (x+y−z). (x+y-z) .

11⋅1⋅(x+y+z)(b−a+c)⋅1\frac{1}{1} \cdot \frac{1 \cdot (x+y+z)}{(b - a + c) \cdot 1}

Dobijamo konačan uprošćen izraz.

x+y+zb−a+c\frac{x + y + z}{b - a + c}