4268. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

$\frac{(a^3 + b^3 + a^2b + ab^2)(a^3 - b^3)}{a^5 + b^5 + a^2b^3 + a^3b^2} : \frac{(a + b)^2 - ab}{(a - b)^2 + ab}$

REŠENJE ZADATKA

Neka je dati izraz označen sa $I .$

I = \frac{(a^3 + b^3 + a^2b + ab^2)(a^3 - b^3)}{a^5 + b^5 + a^2b^3 + a^3b^2} : \frac{(a + b)^2 - ab}{(a - b)^2 + ab}

Rastavljamo na činioce prvi izraz u brojiocu prvog razlomka grupisanjem članova.

a^3 + b^3 + a^2b + ab^2 = a^2(a + b) + b^2(a + b) = (a^2 + b^2)(a + b)

Primenjujemo formulu za razliku kubova na drugi izraz u brojiocu prvog razlomka.

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Rastavljamo na činioce imenilac prvog razlomka grupisanjem članova, a zatim primenjujemo formulu za zbir kubova.

\begin{aligned} a^5 + b^5 + a^2b^3 + a^3b^2 &= a^3(a^2 + b^2) + b^3(a^2 + b^2) \\ &= (a^3 + b^3)(a^2 + b^2) \\ &= (a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + b^2) \end{aligned}

Sređujemo brojilac drugog razlomka (delioca) kvadriranjem binoma.

(a + b)^2 - ab = a^2 + 2ab + b^2 - ab = a^2 + ab + b^2

Sređujemo imenilac drugog razlomka (delioca) kvadriranjem binoma.

(a - b)^2 + ab = a^2 - 2ab + b^2 + ab = a^2 - ab + b^2

Pre nego što zamenimo dobijene izraze, određujemo uslove definisanosti. Imenioci razlomaka, kao i brojilac delioca, moraju biti različiti od nule.

\begin{aligned} a^5 + b^5 + a^2b^3 + a^3b^2 &\neq 0 \\ (a - b)^2 + ab &\neq 0 \\ (a + b)^2 - ab &\neq 0 \end{aligned}

Iz rastavljenih oblika vidimo da mora važiti $(a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + b^2) \neq 0 ,$ $a^2 - ab + b^2 \neq 0$ i $a^2 + ab + b^2 \neq 0 .$ Pošto su izrazi $a^2 - ab + b^2$ i $a^2 + ab + b^2$ uvek pozitivni za realne brojeve (osim kada su oba broja nula), uslovi se svode na to da brojevi ne smeju biti suprotni i ne smeju biti istovremeno nula.

a \neq -b \quad \text{i} \quad a^2 + b^2 \neq 0

Zamenjujemo sve rastavljene i sređene delove nazad u početni izraz.

I = \frac{(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + b^2)} : \frac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - ab + b^2}

Deljenje razlomkom menjamo množenjem njegovom recipročnom vrednošću.

I = \frac{(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + b^2)} \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 + ab + b^2}

Skraćujemo iste činioce u brojiocu i imeniocu: $(a^2 + b^2) ,$ $(a + b) ,$ $(a^2 + ab + b^2)$ i $(a^2 - ab + b^2) .$

I = a - b

649.d