Dvojni razlomak sa a + 2 kroz a − 2 i a − 2 kroz a + 2

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli. Takođe, imenilac glavnog razlomka mora biti različit od nule.

\begin{aligned} a - 2 &\neq 0 \implies a \neq 2 \\ a + 2 &\neq 0 \implies a \neq -2 \\ \frac{a + 2}{a - 2} - \frac{a - 2}{a + 2} &\neq 0 \implies a \neq 0 \end{aligned}

Sređujemo brojilac glavnog razlomka tako što svodimo na zajednički imenilac $(a-2)(a+2) .$

\frac{a + 2}{a - 2} + \frac{a - 2}{a + 2} = \frac{(a + 2)^2 + (a - 2)^2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{a^2 + 4a + 4 + a^2 - 4a + 4}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{2a^2 + 8}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{2(a^2 + 4)}{(a - 2)(a + 2)}

Zatim sređujemo imenilac glavnog razlomka na isti način.

\frac{a + 2}{a - 2} - \frac{a - 2}{a + 2} = \frac{(a + 2)^2 - (a - 2)^2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{a^2 + 4a + 4 - (a^2 - 4a + 4)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{8a}{(a - 2)(a + 2)}

Sada možemo da zapišemo i uprostimo glavni razlomak (levi deo početnog izraza).

\frac{\frac{2(a^2 + 4)}{(a - 2)(a + 2)}}{\frac{8a}{(a - 2)(a + 2)}} = \frac{2(a^2 + 4)}{8a} = \frac{a^2 + 4}{4a}

Sređujemo izraz u srednjim zagradama (delilac) svodeći na zajednički imenilac $(a+2)^2(a-2)^2 .$

\frac{1}{(a + 2)^2} + \frac{1}{(a - 2)^2} = \frac{(a - 2)^2 + (a + 2)^2}{(a + 2)^2(a - 2)^2} = \frac{a^2 - 4a + 4 + a^2 + 4a + 4}{((a + 2)(a - 2))^2} = \frac{2a^2 + 8}{(a^2 - 4)^2} = \frac{2(a^2 + 4)}{(a^2 - 4)^2}

Vraćamo dobijene rezultate u početni izraz. Deljenje razlomkom prelazimo u množenje njegovom recipročnom vrednošću.

\frac{a^2 + 4}{4a} : \frac{2(a^2 + 4)}{(a^2 - 4)^2} = \frac{a^2 + 4}{4a} \cdot \frac{(a^2 - 4)^2}{2(a^2 + 4)}

Skraćujemo izraz sa $a^2 + 4$ (što je uvek veće od nule) i dobijamo konačan rezultat.

\frac{1}{4a} \cdot \frac{(a^2 - 4)^2}{2} = \frac{(a^2 - 4)^2}{8a}

Započni učenje

Online časovi

649.v

Beleške