4278.

649.v

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

a+2a−2+a−2a+2a+2a−2−a−2a+2:[1(a+2)2+1(a−2)2]\frac{\frac{a + 2}{a - 2} + \frac{a - 2}{a + 2}}{\frac{a + 2}{a - 2} - \frac{a - 2}{a + 2}} : \left[ \frac{1}{(a + 2)^2} + \frac{1}{(a - 2)^2} \right]
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli. Takođe, imenilac glavnog razlomka mora biti različit od nule.

a−2≠0  ⟹  a≠2a+2≠0  ⟹  a≠−2a+2a−2−a−2a+2≠0  ⟹  a≠0\begin{aligned} a - 2 &\neq 0 \implies a \neq 2 \\ a + 2 &\neq 0 \implies a \neq -2 \\ \frac{a + 2}{a - 2} - \frac{a - 2}{a + 2} &\neq 0 \implies a \neq 0 \end{aligned}

Sređujemo brojilac glavnog razlomka tako što svodimo na zajednički imenilac (a−2)(a+2). (a-2)(a+2) .

a+2a−2+a−2a+2=(a+2)2+(a−2)2(a−2)(a+2)=a2+4a+4+a2−4a+4(a−2)(a+2)=2a2+8(a−2)(a+2)=2(a2+4)(a−2)(a+2)\frac{a + 2}{a - 2} + \frac{a - 2}{a + 2} = \frac{(a + 2)^2 + (a - 2)^2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{a^2 + 4a + 4 + a^2 - 4a + 4}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{2a^2 + 8}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{2(a^2 + 4)}{(a - 2)(a + 2)}

Zatim sređujemo imenilac glavnog razlomka na isti način.

a+2a−2−a−2a+2=(a+2)2−(a−2)2(a−2)(a+2)=a2+4a+4−(a2−4a+4)(a−2)(a+2)=8a(a−2)(a+2)\frac{a + 2}{a - 2} - \frac{a - 2}{a + 2} = \frac{(a + 2)^2 - (a - 2)^2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{a^2 + 4a + 4 - (a^2 - 4a + 4)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{8a}{(a - 2)(a + 2)}

Sada možemo da zapišemo i uprostimo glavni razlomak (levi deo početnog izraza).

2(a2+4)(a−2)(a+2)8a(a−2)(a+2)=2(a2+4)8a=a2+44a\frac{\frac{2(a^2 + 4)}{(a - 2)(a + 2)}}{\frac{8a}{(a - 2)(a + 2)}} = \frac{2(a^2 + 4)}{8a} = \frac{a^2 + 4}{4a}

Sređujemo izraz u srednjim zagradama (delilac) svodeći na zajednički imenilac (a+2)2(a−2)2. (a+2)^2(a-2)^2 .

1(a+2)2+1(a−2)2=(a−2)2+(a+2)2(a+2)2(a−2)2=a2−4a+4+a2+4a+4((a+2)(a−2))2=2a2+8(a2−4)2=2(a2+4)(a2−4)2\frac{1}{(a + 2)^2} + \frac{1}{(a - 2)^2} = \frac{(a - 2)^2 + (a + 2)^2}{(a + 2)^2(a - 2)^2} = \frac{a^2 - 4a + 4 + a^2 + 4a + 4}{((a + 2)(a - 2))^2} = \frac{2a^2 + 8}{(a^2 - 4)^2} = \frac{2(a^2 + 4)}{(a^2 - 4)^2}

Vraćamo dobijene rezultate u početni izraz. Deljenje razlomkom prelazimo u množenje njegovom recipročnom vrednošću.

a2+44a:2(a2+4)(a2−4)2=a2+44a⋅(a2−4)22(a2+4)\frac{a^2 + 4}{4a} : \frac{2(a^2 + 4)}{(a^2 - 4)^2} = \frac{a^2 + 4}{4a} \cdot \frac{(a^2 - 4)^2}{2(a^2 + 4)}

Skraćujemo izraz sa a2+4 a^2 + 4 (što je uvek veće od nule) i dobijamo konačan rezultat.

14a⋅(a2−4)22=(a2−4)28a\frac{1}{4a} \cdot \frac{(a^2 - 4)^2}{2} = \frac{(a^2 - 4)^2}{8a}