4211.

636.e

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i navedi uslove definisanosti:

a+2a−2:a2+4a+4a2−4\frac{a + 2}{a - 2} : \frac{a^2 + 4a + 4}{a^2 - 4}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo faktorisati polinome koji se nalaze u brojiocu i imeniocu drugog razlomka. Prepoznajemo kvadrat binoma i razliku kvadrata.

a2+4a+4=(a+2)2a2−4=(a−2)(a+2)\begin{aligned} a^2 + 4a + 4 &= (a + 2)^2 \\ a^2 - 4 &= (a - 2)(a + 2) \end{aligned}

Sada određujemo uslove definisanosti. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli, a pošto delimo drugim razlomkom, ni njegov brojilac ne sme biti nula.

a−2≠0  ⟹  a≠2a2−4≠0  ⟹  a≠2 i a≠−2a2+4a+4≠0  ⟹  a≠−2\begin{aligned} a - 2 &\neq 0 \implies a \neq 2 \\ a^2 - 4 &\neq 0 \implies a \neq 2 \text{ i } a \neq -2 \\ a^2 + 4a + 4 &\neq 0 \implies a \neq -2 \end{aligned}

Zajednički uslov definisanosti je da a a ne sme biti jednako 2 2 ni −2. -2 .

a∈R∖{−2,2}a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}

Zapisujemo početni izraz koristeći faktorisane oblike.

a+2a−2:(a+2)2(a−2)(a+2)\frac{a + 2}{a - 2} : \frac{(a + 2)^2}{(a - 2)(a + 2)}

Deljenje razlomaka svodimo na množenje tako što prvi razlomak množimo recipročnom vrednošću drugog razlomka.

a+2a−2⋅(a−2)(a+2)(a+2)2\frac{a + 2}{a - 2} \cdot \frac{(a - 2)(a + 2)}{(a + 2)^2}

Množimo brojilac sa brojiocem i imenilac sa imeniocem.

(a+2)(a−2)(a+2)(a−2)(a+2)2\frac{(a + 2)(a - 2)(a + 2)}{(a - 2)(a + 2)^2}

Sređujemo brojilac grupisanjem istih činilaca.

(a+2)2(a−2)(a−2)(a+2)2\frac{(a + 2)^2(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)^2}

Skraćujemo iste činioce u brojiocu i imeniocu. Pošto smo postavili uslove definisanosti, znamo da ovi činioci nisu jednaki nuli.

11