4212.

636.ž

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz:

x2−x5x3+x2+x:3x−3x26x+6\frac{x^2 - x^5}{x^3 + x^2 + x} : \frac{3x - 3x^2}{6x + 6}
REŠENJE ZADATKA

Faktorišemo brojioce i imenioce u oba razlomka. U prvom brojiocu izvlačimo x2 x^2 ispred zagrade, a u imeniocu x. x . U drugom razlomku izvlačimo 3x 3x u brojiocu i 6 6 u imeniocu.

x2(1−x3)x(x2+x+1):3x(1−x)6(x+1)\frac{x^2(1 - x^3)}{x(x^2 + x + 1)} : \frac{3x(1 - x)}{6(x + 1)}

Primenjujemo formulu za razliku kubova na izraz 1−x3. 1 - x^3 .

x2(1−x)(1+x+x2)x(x2+x+1):3x(1−x)6(x+1)\frac{x^2(1 - x)(1 + x + x^2)}{x(x^2 + x + 1)} : \frac{3x(1 - x)}{6(x + 1)}

Postavljamo uslove definisanosti. Imenioci ne smeju biti nula, a pošto delimo drugim razlomkom, ni njegov brojilac ne sme biti nula.

x(x2+x+1)≠0∧6(x+1)≠0∧3x(1−x)≠0x(x^2 + x + 1) \neq 0 \quad \land \quad 6(x + 1) \neq 0 \quad \land \quad 3x(1 - x) \neq 0

Kvadratni trinom x2+x+1 x^2 + x + 1 je uvek strogo veći od nule za svako realno x. x . Rešavanjem ostalih uslova dobijamo domen izraza.

x≠0∧x≠−1∧x≠1x \neq 0 \quad \land \quad x \neq -1 \quad \land \quad x \neq 1

Deljenje razlomaka prevodimo u množenje recipročnom vrednošću drugog razlomka.

x2(1−x)(1+x+x2)x(x2+x+1)⋅6(x+1)3x(1−x)\frac{x^2(1 - x)(1 + x + x^2)}{x(x^2 + x + 1)} \cdot \frac{6(x + 1)}{3x(1 - x)}

Skraćujemo zajedničke faktore u prvom razlomku: x x i x2+x+1. x^2 + x + 1 .

x(1−x)⋅6(x+1)3x(1−x)x(1 - x) \cdot \frac{6(x + 1)}{3x(1 - x)}

Zapisujemo sve pod jednom razlomačkom crtom i skraćujemo zajedničke faktore 3x 3x i 1−x. 1 - x .

6x(1−x)(x+1)3x(1−x)=2(x+1)\frac{6x(1 - x)(x + 1)}{3x(1 - x)} = 2(x + 1)

Konačan, uprošćen izraz je:

2x+22x + 2