4213.

634.g

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz:

(2x−1+15x−3):(x−3+5x2x−6)\left(2x - 1 + \frac{15}{x - 3}\right) : \left(x - 3 + \frac{5x}{2x - 6}\right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

x−3≠0  ⟹  x≠32x−6≠0  ⟹  2(x−3)≠0  ⟹  x≠3x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3 \\ 2x - 6 \neq 0 \implies 2(x - 3) \neq 0 \implies x \neq 3

Svodimo izraz u prvoj zagradi na zajednički imenilac, koji je x−3. x - 3 .

2x−1+15x−3=(2x−1)(x−3)+15x−32x - 1 + \frac{15}{x - 3} = \frac{(2x - 1)(x - 3) + 15}{x - 3}

Množimo polinome u brojiocu i sređujemo izraz.

2x2−6x−x+3+15x−3=2x2−7x+18x−3\frac{2x^2 - 6x - x + 3 + 15}{x - 3} = \frac{2x^2 - 7x + 18}{x - 3}

Sada svodimo izraz u drugoj zagradi na zajednički imenilac. Primetimo da je 2x−6=2(x−3). 2x - 6 = 2(x - 3) .

x−3+5x2x−6=2(x−3)2+5x2(x−3)x - 3 + \frac{5x}{2x - 6} = \frac{2(x - 3)^2 + 5x}{2(x - 3)}

Kvadriramo binom i sređujemo brojilac druge zagrade.

2(x2−6x+9)+5x2(x−3)=2x2−12x+18+5x2(x−3)=2x2−7x+182(x−3)\frac{2(x^2 - 6x + 9) + 5x}{2(x - 3)} = \frac{2x^2 - 12x + 18 + 5x}{2(x - 3)} = \frac{2x^2 - 7x + 18}{2(x - 3)}

Pored imenilaca, i ceo delilac mora biti različit od nule. Proveravamo da li brojilac delioca, kvadratna funkcija 2x2−7x+18, 2x^2 - 7x + 18 , može biti nula računanjem diskriminante.

D=(−7)2−4⋅2⋅18=49−144=−95D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 49 - 144 = -95

Pošto je diskriminanta negativna (D<0 D < 0 ) i koeficijent uz kvadratni član pozitivan (a=2>0 a = 2 > 0 ), izraz je uvek pozitivan. Zbog toga je jedini uslov definisanosti celog zadatka x≠3. x \neq 3 .

2x2−7x+18>0∀x∈R2x^2 - 7x + 18 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}

Vraćamo sređene izraze u početni zadatak. Deljenje razlomaka prelazimo u množenje recipročnom vrednošću.

2x2−7x+18x−3:2x2−7x+182(x−3)=2x2−7x+18x−3⋅2(x−3)2x2−7x+18\frac{2x^2 - 7x + 18}{x - 3} : \frac{2x^2 - 7x + 18}{2(x - 3)} = \frac{2x^2 - 7x + 18}{x - 3} \cdot \frac{2(x - 3)}{2x^2 - 7x + 18}

Skraćujemo iste izraze u brojiocu i imeniocu (što je dozvoljeno jer smo utvrdili da nisu jednaki nuli) i dobijamo konačan rezultat.

22