Deljenje uglastih zagrada sa 2 (a na 2 − 1)

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Svi imenioci moraju biti različiti od nule. Iz $a^2-1 \neq 0$ i $(a-1)^2 \neq 0$ dobijamo uslove:

a \neq 1 \quad \text{i} \quad a \neq -1

Uprošćavamo prvi deo izraza (deljenik). Sređujemo brojilac prvog razlomka i faktorišemo njegov imenilac kao razliku kvadrata.

\frac{a+1+a^2-a}{2(a-1)(a+1)} - \frac{a}{2(a+1)} = \frac{a^2+1}{2(a-1)(a+1)} - \frac{a}{2(a+1)}

Svodimo na zajednički imenilac, koji je $2(a-1)(a+1) .$ Drugi razlomak proširujemo sa $(a-1) .$

\frac{a^2+1 - a(a-1)}{2(a-1)(a+1)}

Sređujemo brojilac oduzimanjem.

\frac{a^2+1 - a^2 + a}{2(a-1)(a+1)} = \frac{a+1}{2(a-1)(a+1)}

Skraćujemo razlomak sa $(a+1) ,$ s obzirom na to da je $a \neq -1 .$

\frac{1}{2(a-1)}

Sada prelazimo na drugi deo izraza (delilac). Faktorišemo imenioce: $2a^2-4a+2 = 2(a^2-2a+1) = 2(a-1)^2$ i $a^2-2a+1 = (a-1)^2 .$

\frac{a^2+1}{2(a-1)^2} + \frac{a}{(a-1)^2} - \frac{a+1}{(a-1)^2}

Svodimo na zajednički imenilac, koji je $2(a-1)^2 .$ Drugi i treći razlomak proširujemo sa $2 .$

\frac{a^2+1 + 2a - 2(a+1)}{2(a-1)^2}

Sređujemo brojilac.

\frac{a^2+1 + 2a - 2a - 2}{2(a-1)^2} = \frac{a^2-1}{2(a-1)^2}

Faktorišemo brojilac kao razliku kvadrata i skraćujemo razlomak sa $(a-1) ,$ jer je $a \neq 1 .$

\frac{(a-1)(a+1)}{2(a-1)^2} = \frac{a+1}{2(a-1)}

Proveravamo uslov definisanosti za deljenje. Delilac ne sme biti nula, što potvrđuje već postavljeni uslov.

\frac{a+1}{2(a-1)} \neq 0 \implies a \neq -1

Vraćamo uprošćene delove u početni izraz i vršimo deljenje množenjem sa recipročnom vrednošću delioca.

\frac{1}{2(a-1)} : \frac{a+1}{2(a-1)} = \frac{1}{2(a-1)} \cdot \frac{2(a-1)}{a+1}

Skraćujemo unakrsno sa $2(a-1)$ i dobijamo konačan rezultat.

\frac{1}{a+1}

645.b