4252.

645.a

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i odredi uslove definisanosti:

(aa2−2a+1−a1−a2−2a+1):4a2−1a3−a2−a+1\left( \frac{a}{a^2-2a+1} - \frac{a}{1-a^2} - \frac{2}{a+1} \right) : \frac{4a^2-1}{a^3-a^2-a+1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo faktorišemo sve imenioce i brojilac delioca kako bismo odredili uslove definisanosti i uprostili izraz.

a2−2a+1=(a−1)21−a2=(1−a)(1+a)=−(a−1)(a+1)a3−a2−a+1=a2(a−1)−(a−1)=(a2−1)(a−1)=(a−1)2(a+1)4a2−1=(2a−1)(2a+1)\begin{aligned} a^2-2a+1 &= (a-1)^2 \\ 1-a^2 &= (1-a)(1+a) = -(a-1)(a+1) \\ a^3-a^2-a+1 &= a^2(a-1) - (a-1) = (a^2-1)(a-1) = (a-1)^2(a+1) \\ 4a^2-1 &= (2a-1)(2a+1) \end{aligned}

Postavljamo uslove definisanosti. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli, a zbog operacije deljenja ni brojilac delioca ne sme biti nula.

a−1≠0  ⟹  a≠1a+1≠0  ⟹  a≠−12a−1≠0  ⟹  a≠122a+1≠0  ⟹  a≠−12\begin{aligned} a-1 &\neq 0 \implies a \neq 1 \\ a+1 &\neq 0 \implies a \neq -1 \\ 2a-1 &\neq 0 \implies a \neq \frac{1}{2} \\ 2a+1 &\neq 0 \implies a \neq -\frac{1}{2} \end{aligned}

Zapisujemo početni izraz koristeći faktorisane oblike. Znak minus ispred drugog razlomka u zagradi menja znak u imeniocu, pa −a−(a−1)(a+1) -\frac{a}{-(a-1)(a+1)} postaje +a(a−1)(a+1). +\frac{a}{(a-1)(a+1)} .

(a(a−1)2+a(a−1)(a+1)−2a+1):(2a−1)(2a+1)(a−1)2(a+1)\left( \frac{a}{(a-1)^2} + \frac{a}{(a-1)(a+1)} - \frac{2}{a+1} \right) : \frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-1)^2(a+1)}

Svodimo razlomke u zagradi na zajednički imenilac, koji je (a−1)2(a+1). (a-1)^2(a+1) .

a(a+1)+a(a−1)−2(a−1)2(a−1)2(a+1):(2a−1)(2a+1)(a−1)2(a+1)\frac{a(a+1) + a(a-1) - 2(a-1)^2}{(a-1)^2(a+1)} : \frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-1)^2(a+1)}

Sređujemo brojilac prvog razlomka.

a(a+1)+a(a−1)−2(a−1)2=a2+a+a2−a−2(a2−2a+1)=2a2−2a2+4a−2=4a−2=2(2a−1)\begin{aligned} a(a+1) + a(a-1) - 2(a-1)^2 &= a^2 + a + a^2 - a - 2(a^2 - 2a + 1) \\ &= 2a^2 - 2a^2 + 4a - 2 \\ &= 4a - 2 \\ &= 2(2a-1) \end{aligned}

Zamenjujemo sređeni brojilac nazad u izraz.

2(2a−1)(a−1)2(a+1):(2a−1)(2a+1)(a−1)2(a+1)\frac{2(2a-1)}{(a-1)^2(a+1)} : \frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-1)^2(a+1)}

Deljenje razlomaka prevodimo u množenje recipročnom vrednošću.

2(2a−1)(a−1)2(a+1)⋅(a−1)2(a+1)(2a−1)(2a+1)\frac{2(2a-1)}{(a-1)^2(a+1)} \cdot \frac{(a-1)^2(a+1)}{(2a-1)(2a+1)}

Množimo razlomke i skraćujemo zajedničke činioce u brojiocu i imeniocu: (a−1)2(a+1) (a-1)^2(a+1) i (2a−1). (2a-1) .

2(2a−1)(a−1)2(a+1)(a−1)2(a+1)(2a−1)(2a+1)=22a+1\frac{2(2a-1)(a-1)^2(a+1)}{(a-1)^2(a+1)(2a-1)(2a+1)} = \frac{2}{2a+1}