4251. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz: $\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) : \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 \right) + \frac{2}{ab} : \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)^2$

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli, pa mora važiti da su $a$ i $b$ različiti od nule.

a \neq 0, \quad b \neq 0

Takođe, izrazi kojima delimo ne smeju biti jednaki nuli. Postavljamo uslov za prvi delilac.

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 \neq 0

Svodimo izraz na zajednički imenilac $ab$ kako bismo našli uslov.

\frac{a^2 + b^2 + 2ab}{ab} \neq 0

Prepoznajemo kvadrat binoma u brojiocu.

\frac{(a+b)^2}{ab} \neq 0 \implies a+b \neq 0 \implies a \neq -b

Postavljamo uslov i za drugi delilac.

\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)^2 \neq 0

Svodimo izraz u zagradi na zajednički imenilac.

\left( \frac{a+b}{ab} \right)^2 \neq 0 \implies a+b \neq 0 \implies a \neq -b

Konačni uslovi definisanosti su:

a \neq 0, \quad b \neq 0, \quad a \neq -b

Sada prelazimo na uprošćavanje samog izraza. Svodimo sabirke u prvoj zagradi na zajednički imenilac.

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}

Svodimo sabirke u drugoj zagradi na zajednički imenilac.

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{ab} = \frac{(a+b)^2}{ab}

Svodimo sabirke u trećoj zagradi na zajednički imenilac.

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab}

Zamenjujemo dobijene razlomke nazad u početni izraz.

\frac{a^2+b^2}{ab} : \frac{(a+b)^2}{ab} + \frac{2}{ab} : \left( \frac{a+b}{ab} \right)^2

Kvadriramo izraz u poslednjoj zagradi.

\frac{a^2+b^2}{ab} : \frac{(a+b)^2}{ab} + \frac{2}{ab} : \frac{(a+b)^2}{a^2b^2}

Deljenje razlomaka pretvaramo u množenje njihovim recipročnim vrednostima.

\frac{a^2+b^2}{ab} \cdot \frac{ab}{(a+b)^2} + \frac{2}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(a+b)^2}

Skraćujemo razlomke gde je to moguće. U prvom proizvodu skraćujemo $ab ,$ a u drugom $ab$ i $a^2b^2 .$

\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2} + \frac{2ab}{(a+b)^2}

Sabiramo razlomke jer imaju iste imenioce.

\frac{a^2+b^2+2ab}{(a+b)^2}

Prepoznajemo kvadrat binoma u brojiocu.

\frac{(a+b)^2}{(a+b)^2}

Skraćujemo brojilac i imenilac, s obzirom na to da je $a \neq -b$ (odnosno $a+b \neq 0$ ).

1

642.a