4078. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomak i zapisati uslove pod kojima dobijena jednakost važi: $\frac{x^2+x-6}{x^2-4x+4} .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti brojilac $x^2+x-6$ na činioce. Koristimo metodu rastavljanja srednjeg člana $x = 3x - 2x$ ili rešavamo kvadratnu jednačinu da bismo pronašli nule.

x^2 + x - 6 = x^2 + 3x - 2x - 6 = x(x + 3) - 2(x + 3) = (x - 2)(x + 3)

Zatim ćemo rastaviti imenilac $x^2-4x+4$ na činioce. Primećujemo da je ovo kvadrat binoma $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 .$

x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2

Pre skraćivanja, moramo odrediti uslov pod kojim je razlomak definisan. Imenilac ne sme biti jednak nuli.

x^2 - 4x + 4 \neq 0 \implies (x - 2)^2 \neq 0 \implies x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2

Sada zapisujemo razlomak u rastavljenom obliku i vršimo skraćivanje zajedničkog činioca $(x-2) .$

\frac{x^2+x-6}{x^2-4x+4} = \frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)^2} = \frac{x+3}{x-2}

Konačan rezultat sa navedenim uslovom je:

\frac{x+3}{x-2}, \quad x \neq 2

620.v