4035. NZD i NZS polinoma

TEKST ZADATKA

Odrediti najmanji zajednički sadržalac (NZS) polinoma: $4x^4 - 8x^3 + 4x^2$ i $3x^3 + 6x^2 + 3x .$

REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u pronalaženju NZS je rastavljanje svakog polinoma na proste činioce. Rastavljamo prvi polinom izvlačenjem zajedničkog člana ispred zagrade.

P_1(x) = 4x^4 - 8x^3 + 4x^2 = 4x^2(x^2 - 2x + 1)

Primećujemo da je izraz u zagradi kvadrat binoma $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 .$ Dalje rastavljamo prvi polinom.

P_1(x) = 4x^2(x - 1)^2 = 2^2 \cdot x^2 \cdot (x - 1)^2

Sada rastavljamo drugi polinom izvlačenjem zajedničkog člana ispred zagrade.

P_2(x) = 3x^3 + 6x^2 + 3x = 3x(x^2 + 2x + 1)

Izraz u zagradi drugog polinoma je kvadrat binoma $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$

P_2(x) = 3x(x + 1)^2

Najmanji zajednički sadržalac (NZS) dobijamo tako što uzmemo sve različite činioce koji se pojavljuju u oba polinoma, sa njihovim najvećim stepenima.

\text{NZS}(P_1, P_2) = \text{NZS}(2^2 x^2 (x-1)^2, 3x(x+1)^2)

Kombinovanjem koeficijenata i faktora sa najvećim eksponentima, dobijamo konačan rezultat.

\text{NZS} = 12x^2(x - 1)^2(x + 1)^2

616.g