4033.

616.v

TEKST ZADATKA

Odrediti najmanji zajednički sadržalac (NZS) polinoma: x2−y2, x^2 - y^2 , x3−y3, x^3 - y^3 , x3+y3. x^3 + y^3 .

REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u pronalaženju NZS je rastavljanje svakog polinoma na proste činioce koristeći formule za razliku kvadrata, razliku kubova i zbir kubova.

Rastavljamo prvi polinom koristeći formulu za razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b): a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) :

x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

Rastavljamo drugi polinom koristeći formulu za razliku kubova a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2): a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) :

x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)

Rastavljamo treći polinom koristeći formulu za zbir kubova a3+b3=(a+b)(a2−ay+y2): a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ay + y^2) :

x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)

Najmanji zajednički sadržalac (NZS) dobijamo tako što pomnožimo sve različite činioce koji se pojavljuju u rastavima, uzimajući svaki sa najvećim stepenom koji se pojavljuje.

Svi činioci su: (x−y), (x - y) , (x+y), (x + y) , (x2+xy+y2) (x^2 + xy + y^2) i (x2−xy+y2). (x^2 - xy + y^2) . Formiramo NZS:

NZS=(x−y)(x+y)(x2+xy+y2)(x2−xy+y2)NZS = (x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)

Izraz možemo grupisati kako bismo ga zapisali u kraćem obliku koristeći ponovo formule za razliku i zbir kubova:

NZS=[(x−y)(x2+xy+y2)]⋅[(x+y)(x2−xy+y2)]=(x3−y3)(x3+y3)NZS = [(x - y)(x^2 + xy + y^2)] \cdot [(x + y)(x^2 - xy + y^2)] = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)

Konačno, primenom formule za razliku kvadrata na dobijeni izraz, dobijamo finalni rezultat:

NZS=(x3)2−(y3)2=x6−y6NZS = (x^3)^2 - (y^3)^2 = x^6 - y^6