Prethodni zadatak Sledeći zadatak

Prethodni Sledeći

321.z

Postavi pitanje

Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.

REŠENJE ZADATKA

Brojilac grupišemo tako da se pojavi imenilac: $x^3+x=x(x^2+1)$ i $-x^2=-(x^2+1)+1 :$

\frac{x^3-x^2+x}{x^2+1}=\frac{x(x^2+1)-(x^2+1)+1}{x^2+1}=x-1+\frac1{1+x^2}

Integralimo član po član ( $\int x^a\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$ (za $a\neq-1$ ), $\int\frac{dx}{1+x^2}=\operatorname{arctg}x+C$ ):

\int\left(x-1+\frac1{1+x^2}\right)dx=\frac{x^2}2-x+\operatorname{arctg}x+C

Provera brojem za $x=1 :$ izvod rezultata je $1-1+\frac12=\frac12 ,$ a podintegralna funkcija $\frac{1-1+1}{2}=\frac12 .$ U opštem slučaju:

\left(\frac{x^2}2-x+\operatorname{arctg}x\right)'=x-1+\frac1{1+x^2}

Dakle, $\int\frac{x^3-x^2+x}{x^2+1}\,dx=\frac{x^2}2-x+\operatorname{arctg}x+C .$

Postavi pitanje