5939. Neodredjeni integrali

Funkcija je definisana za $|x|<1 .$ Imenilac rastavljamo kao razliku kvadrata, $1-x^4=(1-x^2)(1+x^2) ,$ pa je $\sqrt{1-x^4}=\sqrt{1-x^2}\,\sqrt{1+x^2} .$ Delimo svaki član brojioca:

\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1+x^2}}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}+\frac1{\sqrt{1+x^2}}

Oba integrala su tablična: $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$ (za $|x|<1$ ) i $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2+1}\right|+C :$

\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}+\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\arcsin x+\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C

Apsolutna vrednost nije potrebna jer je $\sqrt{x^2+1}>|x| ,$ pa je $x+\sqrt{x^2+1}>0 .$ Provera:

\left(\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right)'=\frac{1+\frac x{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac1{\sqrt{x^2+1}}

Traženi integral je $\arcsin x+\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

321.i

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci