5907. Neodredjeni integrali

Za $x>0$ množimo zagrade u brojiocu; članovi $x$ i $-x$ se potiru:

(x-\sqrt x)(1+\sqrt x)=x+x\sqrt x-\sqrt x-x=x^{\frac32}-x^{\frac12}

Delimo sa $\sqrt[3]x=x^{\frac13}$ oduzimanjem izložilaca: $\frac32-\frac13=\frac76$ i $\frac12-\frac13=\frac16 .$

\frac{x^{\frac32}-x^{\frac12}}{x^{\frac13}}=x^{\frac76}-x^{\frac16}

Primenjujemo $\int x^a\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$ (za $a\neq-1$ ):

\int\left(x^{\frac76}-x^{\frac16}\right)dx=\frac{x^{\frac{13}6}}{\frac{13}6}-\frac{x^{\frac76}}{\frac76}+C=\frac6{13}x^{\frac{13}6}-\frac67x^{\frac76}+C

Provera:

\left(\frac6{13}x^{\frac{13}6}-\frac67x^{\frac76}\right)'=x^{\frac76}-x^{\frac16}

Dakle, integral je $\frac6{13}x^2\sqrt[6]x-\frac67x\sqrt[6]x+C .$

318.k